Dzisiaj słowo „integralny” można usłyszeć dość często i często w najbardziej nieoczekiwanych miejscach, na przykład na kanale wymiany w telewizji lub w wiadomościach. Często słyszymy wyrażenie „wskaźniki zintegrowane”, słowo „zintegrowane”, „integracyjne” i tym podobne. Ogólnie rzecz biorąc, urzędnicy i prezenterowie telewizyjni ogólnie lubią różne sprytne słowa, choć z trudem rozumieją ich prawdziwe znaczenie. A dzisiaj porozmawiamy o tym, co jest całką, jakie rodzaje całek istnieją i jakie są ich różnice.
Co jest całką
Całka jest łacińskim słowem, które przyszło do nas od starożytności i oznacza „całość” lub „pełna”. To znaczy, jasne jest, że jeśli powiedzieli „liczbę całkowitą” o pewnym przedmiocie, na przykład naczyniu z mlekiem, oznaczało to, że było pełne i było w nim tyle mleka, ile było.
Z czasem słowo to zaczęło być stosowane w zupełnie innych dyscyplinach - w filozofii, polityce, ekonomii, algebrze i geometrii. Ale najprostszą interpretację całki podaje matematyka.
Całka oznaczona
Tak więc całka jest pewną sumą oddzielnych części. Oto najprostsze przykłady lepszego zrozumienia istoty tego terminu:
- Przedmiot jest całką (sumą) cząsteczek.
- Liść w komórce jest całką (sumą) komórek.
- Układ słoneczny jest całką (sumą) słońca i planet.
- Społeczeństwo jest integralną częścią ludzi.
- Segment jest całką (sumą) liczników. Jeśli mały segment, to centymetry, milimetry lub segmenty mikroskopowe.
- Obszar powierzchni jest całką metrów kwadratowych, centymetrów kwadratowych lub milimetrów, a także obszarów mikroskopowych.
- Objętość jest całką metrów sześciennych lub, jak się je nazywa, litrów.
Co to są całki określone i nieokreślone?
Zacznijmy od pewnego, ponieważ jego znaczenie jest łatwiejsze do zrozumienia..
Obszar badań geometrii. Na przykład, jeśli chcesz wkleić tapety w domu, musisz znać obszar ścian, aby dowiedzieć się, ile tapet należy kupić. Następnie wystarczy pomnożyć długość ściany przez wysokość i uzyskać jej powierzchnię. W tym przypadku obszar ten jest całką metrów kwadratowych lub centymetrów, w zależności od tego, w których jednostkach został zmierzony. Ale powierzchnie, których powierzchnię musimy obliczyć, nie zawsze mają kształt prostokąta, kwadratu, a nawet koła. W większości przypadków są to złożone postacie z falistymi bokami. Najczęstszym przykładem jest pole powierzchni pod krzywą o równaniu y = 1 / x. Faktem jest, że nie można znaleźć jego obszaru za pomocą zwykłych wzorów, za pomocą których znajdujemy pole kwadratu, koła, a nawet kuli. W tym celu opracowano określoną całkę..
Istotą tej metody jest to, że naszą złożoną figurę należy podzielić na bardzo wąskie prostokąty, tak wąskie, że wysokość każdego z dwóch sąsiednich jest prawie równa. Oczywiste jest, że w rzeczywistości grubość tych prostokątów można nieskończenie zmniejszać, dlatego do określenia ich grubości stosuje się rozmiar dx. X jest współrzędną, a przedrostek d oznacza oznaczenie nieskończenie zmniejszonej ilości. Dlatego kiedy piszemy dx - oznacza to, że bierzemy segment wzdłuż osi x, którego długość jest bardzo mała, jest praktycznie zerowy.
Uzgodniliśmy już, że pole dowolnej figury jest całką metrów kwadratowych lub dowolnej innej postaci o mniejszych powierzchniach. Zatem nasza figura, której pola szukamy, jest całką lub sumą tych nieskończenie cienkich prostokątów, na które ją podzieliliśmy. A jego powierzchnia jest sumą ich obszarów. Oznacza to, że naszym całym zadaniem jest znalezienie obszaru każdego z tych prostokątów, a następnie zsumowanie ich wszystkich - jest to pewna całka.Porozmawiajmy teraz o całce nieoznaczonej. Tylko, aby zrozumieć, co to jest, najpierw musisz dowiedzieć się o pochodnej. Więc zacznijmy.
Pochodna to kąt nachylenia stycznej do dowolnego wykresu w pewnym punkcie na nim. Innymi słowy, pochodna określa, jak daleko wykres jest nachylony w danym miejscu. Na przykład linia prosta w dowolnym punkcie ma to samo nachylenie, a krzywa jest inna, ale można ją powtórzyć. Istnieją specjalne formuły do obliczania pochodnej, a proces jej obliczania nazywa się różnicowaniem. Tj. różnicowanie to definicja kąta wykresu w danym punkcie.
Tabela podstawowych całek nieoznaczonych
Aby zrobić odwrotnie, aby znaleźć wzór wykresu pod kątem jego nachylenia, uciekają się do operacji integracji lub podsumowują dane o wszystkich punktach. Integracja i różnicowanie to dwa wzajemne procesy. Tylko tutaj używają już nie całki, która była w pierwszym akapicie (do określenia obszaru), ale druga - nieokreślona, to znaczy bez ograniczeń.
Załóżmy, że wiemy, że pochodna jakiejś funkcji wynosi 5. 5 to kąt wykresu do osi x w danym punkcie. Następnie, całkując pochodną, dowiadujemy się, że funkcja tej pochodnej, która jest również nazywana funkcją pierwotną, wynosi y = 5x + c, gdzie c jest dowolną liczbą. Do integracji, a także do różnicowania, istnieją specjalne formuły, które można znaleźć w tabelach.Wniosek
Podsumowując, podsumowujemy, że główna różnica między pewną całką a nieokreśloną leży w ich celach. Pewne całki są używane do obliczania ograniczonych parametrów, takich jak powierzchnia, długość lub objętość i nieokreślone, przy obliczaniu parametrów, które nie mają granic, tj. Funkcji.
Ciekawe wideo na ten temat:
